X
تبلیغات
آموزش ریاضی - نکات آموزشی تابع نمایی ولگاریتم
ریاضی متوسطه هرسین

                                                                  بسمه تعالي

نكات كمك آموزشي تابع نمايي وتابع لگاريتم رياضي2

 

تابع نمايي: به توابعي باضابطه ي f(x)=ax كه درآنa ،عددي مثبت ومخالف صفر است ،تابع نمايي گوييم (به وضوح ميتوان ديد تابع نمايي كه تابعي همواره مثبت است .

نمودار تابع y=ax  باشرط 1 < a به صورت روبه رو است :             

 

 


ونمودار تابع y=ax با شرط 1 > a > 0 به صورت مقابل مي باشد.

 

 

نكته :صعود ونزول در توابع نمايي

1)      در تابع y=ax با شرط 1 < a ،با افزايش x، مقدار تابع هم زياد مي شود

 مثال - براي تابع x 2 = y داريم  :                                     

 

2)     در تابع y=ax با شرط 1 >a > 0 با افزايش مقدار x ، مقدار تابع كم مي شود

مثال – براي تابع داريم:                                                 15 <17                                                                         

 

دامنه وبرد توابع نمايي:

درتابع نمايي f(x)=ax  ، x هرمقدار حقيقي مي تواند باشدوبا توجه به نمودار به وضوح مقدار تابع هر عدد حقيقي مثبت مي تواند باشد پس دامنه وبرد :                                        و   

 

به طور مثال برد تابع    1 y= 2x+1+ خواهد شد: 

                                                               1<y  1 <  1+    x+1  0<  x+1 2   0< x 2

 

نامساوي ميانگين هندسي وحسابي : دونامساوي زير كه به نامساوي ميانگين حسابي وهندسي مشهور هستند در محاسبه برد توابع نمايي كاربرد زيادي دارند .

                                                                                                                2 ≤a + b  0 bو0≤a  (1

 

                                                                                      2- ≥ a+b      0≥b و  0 ≥ a   (2

مثال: برد تابع –x+3 2 + x+1 2 = f(x) راحساب كنيد.

                                                          (   و8]=   2   -x+32 + x+1 2

تعريف لگاريتم : تابع نمايي x a =y يك تابع يك به يك است بنابراين وارون پذير است .وارون اين تابع ، تابع لگاريتم نام دارد وبه صورت  مي باشد.

 

نكته: چون لگاريتم يك تابع يك به يك است داريم:                    

 

قانون تغيير مبنا: يكي از قوانين مفيد لگاريتم قانون تغيير مبنا ست .            

نتيجه1: درحالت خاص 10=c به تساوي      مي رسيم.

نتيجه2: با استفاده از نتيجه 1 داريم:                       

نتيجه3: با تركيب قانون  ونتيجه 1 به دست مي آوريم:          

 

مثال: مقدار    را حساب كنيد.

           

                                                    

 

نكته: مي دانيم اگر  آن گاه b = x a با جای گذاری مقدار اولیه x در تساوی دوم به دست

می آوریم.                     

مثال:                                                                                          

 


نمودار تابع لگاریتم

1 ) حالت اول مبنای بزرگتر از یک باشد.  ( 1 < a )                                                                  

 


2) مبنا بین صفر ویک باشد .   ( 1 > a > 0 )                                              

 

در هر دو حالت نمودار تابع با توجه به این واقعیت به دست می آید که تابع لگاریتم وارون تابع نمایی است ونمودار آن

قرینه ی نمودار تابع نمایی نسبت به نیمساز ربع اول وسوم است.

 

دو نکته ی مهم در قوانین لگاریتم :

 

                                        (2                                      ( 1

 

 

تابع نمايي طبيعي:

تابع تابع نمايي طبيعي گفته مي شودكه وارون آن تابع f(x)=lnx به ازاي1 x= داراي مقدار صفر است.

 به طور يكنوا به سمت بينهايت صعود مي كند ولي شيب آن ، ،تابعي نزولي است، وبه ازاي مقادير مثبت x

كه كوچكتر از 1 باشند ، lnx منفي و ln است، بنابر اين وقتي ، lnx به سمت بي نهايت منفي مي رود

به علت يكنوايي y=lnx مي توانيم تابع وارون x=E(y)  رادر نظر بگيريم كه نمودارش (شكل 2) به طريق معمول از نمودار y=lnx به دست مي آيد (شكل 1) ،و به ازاي همه مقاديرy بين تعريف مي شود.وقتيy به مي گرايدمقدار E(y) به صفر ميل مي كند ،و وقتي y به  مي گرايد E(y) به ميل

مي كند.

         

                y=logx                                                                                                                 x=E(y)

 

 

 

 

                     شكل (1)                                                                                        شكل (2)

 

تابع E ويژگي بنيادي زير را دارد :به ازاي هرجفت از مقدارهاي a,b داريم: E(a).E(b)=E(a+b)      

اگر قرار دهيم:                             E(A)=z  ,E(b)=x           ( يعني      (a=lnz     ,  b=lnx  داريم:

                                                                                                                    Lnx+lnz = b+a  Ln xz=

 

وبنابراين              E(b+a)= xz = E(a ).E(b)   است.چون بنا به تعريف داريم 1 = ln e پس:   e = (1 ) E و

 ( 2 ) E = (2 ) E ( 1 ) E = 2 e وغيره. به طور كلي به ازاي هر عدد صحيح n :         n e = ( n ) E  همين طور ،در نتيجه ؛ از اين رو با قرار دادن به ازاي هر عدد گوياي r داريم :    r e = ( r ) E  پس مناسب است توان گنگ عدد e را با قرار دادن   ey=E(y)     به ازاي هر عددحقيقي y تعريف كنيم زيرا تابعE به ازاي همه مقدارهاي y پيوسته است وبه ازاي y هاي گويا با مقدار y e

يكسان است. حال مي توانيم قانون بنيادي در مورد تابع E يا ،چنان كه معروف است،تابع نمايي را با رابطه :

                                                                                                                                       a+b  e = b e a  e

بيان كنيم كه براي مقادير گنگ ياگوياي دلخواه a,b برقرار است.

در همه ي اين بحثها لگاريتم وتابع نمايي را به عدد e مربوط ساخته ايم يعني e را" پايه" يا "پايه طبيعي " لگاريتم گرفته ايم .گذار از پايه e به هر عدد مثبت ديگر به آساني انجام مي شود . براي اين كار ،نخست با در نظر گرفتن لگاريتم (طبيعي ) :      داريم :           سپس  را با عبارت مركب

 تعريف مي كنيم .مثلاً     10 xln e = x 10 تابع وارون x a را لگاريتم در پايه a مي ناميم وفوراً ملاحظه مي كنيم كه لگاريتم طبيعي z برابر است با x ضربدر  ؛ به عبارت ديگر ، لگاريتم هر عدد z در پايه a با تقسيم لگاريتم طبيعي ثابت a به دست مي آيد . به ازاي 10 = a ، اين عدد ثابت (تا چهار رقم معني دار) برابر است با :                  303/2 = 10 ln

                                       

 

                                            

 

+ نوشته شده در  یکشنبه هجدهم دی 1390ساعت 21:52  توسط  حسینی  |